Laboratório 03 · comparação

Gravidades

Primeiro, refaça a conta

Da hipótese ao resultado, sem saltos

Abra cada etapa para acompanhar substituições, derivadas, sinais e verificações antes de explorar os gráficos.

Etapa 01

Fixar a referência de RG

A TOV de Einstein funciona como referência, não como parâmetro comum às outras ações.

Partimos de\[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}\]
Queremos chegar a\[p'=-(\rho+p)\frac{m+4\pi pr^3}{r(r-2m)}\]
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Construir a referência de Relatividade Geral usada na sobreposição e distinguir a equação TOV da curva discretizada exibida.

Antes de começar

  • A comparação compartilha eixos, mas RG não é parâmetro das outras ações.
  • A curva corresponde ao cartão \(α=0\) da mesma família politrópica.
  • \(G=c=1\) e assinatura +−−−.
  1. Linha 1

    Parta de Einstein

    \[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}\]
    O que fizemos

    Fixamos a teoria de referência antes de carregar qualquer conjunto de pontos.

    Por que é válido

    É a equação canônica da Seção \(2\) da tese.

  2. Linha 2

    Reduza pela simetria

    \[e^{-\psi}=1-\frac{2m}{r},\qquad T^\mu{}_\nu=\operatorname{diag}(\rho,-p,-p,-p)\]
    O que fizemos

    Substituímos a métrica estática e o fluido perfeito.

    Por que é válido

    É a mesma redução geométrica usada pelas estrelas comparáveis.

  3. Linha 3

    Obtenha a massa por cascas

    \[m'=4\pi r^2\rho\]
    O que fizemos

    Isolamos \(m\) linha na componente temporal.

    Por que é válido

    Esta é a primeira relação radial da sequência de RG.

  4. Linha 4

    Monte a TOV

    \[p'=-(\rho+p)\frac{m+4\pi pr^3}{r(r-2m)}\]
    O que fizemos

    Substituímos o gradiente temporal da componente radial na conservação.

    Por que é válido

    A Eq. (2.11) é a referência hidrostática do comparador.

  5. Linha 5

    Associe o preset de referência

    \[\alpha=0\Longrightarrow h=h_T=0\Longrightarrow\mathcal C_{\alpha=0}=\mathcal C_{\rm RG}\]
    O que fizemos

    Desligamos \(h\) e \(h\) sub \(T\) antes de identificar a tabela de referência.

    Por que é válido

    A igualdade vale dentro dessa família; ela não introduz alfa na ação de Einstein.

  6. Linha 6

    Desenhe dados curados

    \[\mathcal C_{\rm RG}=\{(R_i,M_i,\rho_{c,i})\}_{i=1}^{N}\quad\text{reconstruída da figura}\]
    O que fizemos

    Carregamos o preset discreto em vez de executar um solver no navegador.

    Por que é válido

    A reprodução visual não é apresentada como integração numérica nova.

Etapa 02

Adicionar o setor de traço

\(f(R,T)\) acrescenta \(h\) e \(h_T\) à massa e à pressão hidrostática.

Partimos de\[f(R,T)=R+h(T)\]
Queremos chegar a\[\alpha=-0{,}15\Rightarrow M_{\max}\simeq2{,}2M_\odot\]
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Explicar como um preset \(f(R,T)\) chega ao comparador: da ação canônica, por \(h(T)\) selecionada pela EoS, até uma curva publicada.

Antes de começar

  • O artigo fixa a normalização \(f(R,T)=R+h(T)\).
  • A mesma EoS determina \(h\) e a sequência estelar.
  • \(α\) troca famílias completas; não é interpolado.
  1. Linha 1

    Fixe a normalização

    \[f(R,T)=R+h(T)\]
    O que fizemos

    Escolhemos a convenção do artigo antes de calcular \(h\).

    Por que é válido

    Misturar \(R\) mais \(h\) com \(R\) mais 2h alteraria os coeficientes seguintes.

  2. Linha 2

    Selecione \(h\) pela matéria

    \[p=k\rho^\Gamma,\quad\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\Longrightarrow h_T=h_T(\rho;\alpha,k,\Gamma)\]
    O que fizemos

    Substituímos a EoS na condição de conservação e integramos a relação.

    Por que é válido

    \(h\) não continua livre depois que a matéria é escolhida.

  3. Linha 3

    Atualize massa e pressão

    \[m'=4\pi r^2\rho+\frac14r^2h,\qquad p'=-(\rho+p)\frac{m/r^2+[4\pi p-h/4-h_T(p-\rho)/2]r}{1-2m/r}\]
    O que fizemos

    Substituímos a função selecionada nas componentes e usamos a conservação.

    Por que é válido

    Essas são as estruturas que sustentam as famílias do artigo.

  4. Linha 4

    Teste a origem

    \[\alpha=0\Longrightarrow h=h_T=0\Longrightarrow(m',p')=(m'_{\rm RG},p'_{\rm RG})\]
    O que fizemos

    Avaliamos as funções proporcionais a alfa em zero.

    Por que é válido

    O limite fornece referência interna com a mesma EoS.

  5. Linha 5

    Selecione apenas famílias publicadas

    \[\alpha\in\{-0{,}15,-0{,}10,0,+0{,}10\}\Longrightarrow\mathcal C_\alpha=\{(R_i,M_i,\rho_{c,i})\}_\alpha\]
    O que fizemos

    Mapeamos a opção do controle para um identificador de preset.

    Por que é válido

    Interpolar alfa criaria resultados não verificados.

  6. Linha 6

    Confira o caso dourado

    \[\alpha=-0{,}15\Longrightarrow M_{\max}\simeq2{,}2\,M_\odot\]
    O que fizemos

    Lemos o ponto de retorno marcado na família curada.

    Por que é válido

    O valor valida a seleção, mas não é extrapolado para outros alfa.

Etapa 03

Comparar o acoplamento GMC

O modelo \(f(R,\mathcal L_m)\) altera as curvas, mas seus pontos destacados não provam estabilidade radial.

Partimos de\[f(R,\mathcal L_m)=R+\sigma R\mathcal L_m\]
Queremos chegar a\[\sigma=20:\quad M_{\rm exibida}\simeq2{,}57M_\odot\]
Cálculo linha por linha7 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Sobrepor as famílias GMC publicadas sem transformar o maior ponto exibido em uma afirmação não demonstrada de estabilidade radial.

Antes de começar

  • GMC usa uma ação distinta de \(f(R,T)\).
  • Os seis \(σ\) são seis curvas publicadas, não um slider contínuo.
  • A tese exige análise de oscilações para decidir estabilidade.
  1. Linha 1

    Identifique a ação

    \[f(R,\mathcal L_m)=R+\sigma R\mathcal L_m\]
    O que fizemos

    Fixamos a teoria do cartão antes de ler a curva.

    Por que é válido

    Sigma pertence a GMC e não pode ser identificado com alfa de \(f(R,T)\).

  2. Linha 2

    Restrinja os presets

    \[\sigma\in\{0,5,10,15,18,20\}\]
    O que fizemos

    Trocamos o valor escolhido por uma chave de dados.

    Por que é válido

    Valores intermediários não são gerados.

  3. Linha 3

    Carregue a família

    \[\sigma\longmapsto\mathcal C_\sigma=\{(R_i,M_i,\rho_{c,i})\}_{i=1}^{N_\sigma}\]
    O que fizemos

    Selecionamos pontos reconstruídos das figuras e preservamos o rótulo.

    Por que é válido

    A operação consulta um preset; não reintegra \(f(R,\mathcal L_m)\).

  4. Linha 4

    Preserve o ponto destacado

    \[P_\sigma^{\rm fig}=(R_\sigma^{\rm fig},M_\sigma^{\rm fig})\in\mathcal C_\sigma\]
    O que fizemos

    Associamos ao preset a marca visual da fonte.

    Por que é válido

    O rótulo exibido evita promovê-lo automaticamente a máximo estável.

  5. Linha 5

    Confira \(σ=20\)

    \[\sigma=20\Longrightarrow M_{\rm exibida}\simeq2{,}57\,M_\odot\]
    O que fizemos

    Lemos o valor relatado junto à Figura \(5.9\).

    Por que é válido

    É um caso dourado documental, não nova estimativa.

  6. Linha 6

    Não infira estabilidade

    \[\frac{dM}{d\rho_c}=0\ \text{ou ponto destacado}\quad\not\Longrightarrow\quad\omega_0^2>0\]
    O que fizemos

    Separamos o diagnóstico da curva do teste de oscilações.

    Por que é válido

    A tese declara que estabilidade GMC exige estudo radial independente.

  7. Linha 7

    Sobreponha só grandezas comuns

    \[\mathcal C_{\rm RG}\cup\mathcal C_{f(R,T)}\cup\mathcal C_{\rm GMC}\xrightarrow{(R,M)}\text{mesmos eixos, teorias distintas}\]
    O que fizemos

    Projetamos cada tabela nas colunas \(R\) e \(M\).

    Por que é válido

    Eixos comuns autorizam comparação visual, não identificação entre sigma e alfa.

Etapa 04

Manter as branas algébricas

As equações são exibidas sem inventar famílias massa–raio ausentes na tese.

Partimos de\[G_{\mu\nu}=8\pi T^{\rm ef}_{\mu\nu}\]
Queremos chegar a\[\mathrm{branas}:\quad\text{equações auditáveis, sem curva numérica}\]
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Comparar conceitualmente os modelos de brana sem desenhar famílias massa–raio que a tese não calculou.

Antes de começar

  • O seletor troca relações algébricas e hipóteses.
  • Nenhum modelo recebe tabela estelar da tese.
  • Os limites de RG seguem verificáveis nas fórmulas.
  1. Linha 1

    Mapeie a escolha

    \[B\in\{\mathrm{RS},\mathrm{SS},\mathrm{warp}\}\Longmapsto\mathcal E_B\]
    O que fizemos

    Usamos o identificador do seletor para escolher um cartão algébrico.

    Por que é válido

    Os três modelos possuem fontes e parâmetros distintos.

  2. Linha 2

    Exiba os graus de liberdade

    \[\mathcal E_{\rm RS}:(\rho_{\rm eff},p_{\rm eff},\mathcal U,\mathcal P),\quad\mathcal E_{\rm SS}:(\rho_{\rm eff},p_{\rm eff},\eta),\quad\mathcal E_{\rm warp}:(I,\alpha)\]
    O que fizemos

    Listamos o que precisa ser especificado antes da integração.

    Por que é válido

    A lista impede tratar tensões, Weyl e alfa como o mesmo controle.

  3. Linha 3

    Consulte os dados

    \[\mathcal C_{\rm RS}=\mathcal C_{\rm SS}=\mathcal C_{\rm warp}=\varnothing\]
    O que fizemos

    Verificamos o capítulo de resultados e as conclusões.

    Por que é válido

    O vazio registra ausência documental, não ausência física de soluções.

  4. Linha 4

    Mostre limites legítimos

    \[\mathrm{SS}:\eta\to\infty,\qquad\mathrm{warp}:\alpha\to0\Rightarrow I\to1,\qquad\mathrm{RS}:\lambda^{-1},\mathcal U,\mathcal P\to0\]
    O que fizemos

    Aplicamos separadamente o desacoplamento de cada teoria.

    Por que é válido

    Esses testes algébricos não precisam de curva.

  5. Linha 5

    Bloqueie o traçado ausente

    \[\mathcal C_B=\varnothing\Longrightarrow\mathrm{painel}_B=\mathrm{equação+hipóteses+limite},\quad\mathrm{sem}\ M(R)\]
    O que fizemos

    Condicionamos o desenho à existência de pontos auditados.

    Por que é válido

    Uma ilustração genérica não é confundida com resultado da tese.

  6. Linha 6

    Liste o trabalho faltante

    \[\mathrm{curva\ de\ brana}\Leftarrow\{\mathrm{EoS},\mathrm{fechamento},\mathbf y(0),p(R_\star)=0,\mathrm{integração},\mathrm{resíduos}\}\]
    O que fizemos

    Convertemos a lacuna numérica em etapas concretas.

    Por que é válido

    Completar a lista seria extensão calculada, não visualização do resultado histórico.

Depois, explore os dados

Agora mova os controles

Cada escolha troca um caso publicado inteiro. Os valores abaixo mostram imediatamente o que mudou e mantêm a tabela acessível junto do gráfico.

f(R,T) conservada

f(R,ℒm) · GMC

Brana algébrica

Comparação massa–raioRG · α = 0α = −0,15σ = 20
Ver valores do gráfico
R (km)RG · α = 0α = −0,15σ = 20
10.71.392.022.57
11.71.422.12.48
131.42.162.38
151.312.192.25
17.21.182.22.02
19.51.022.141.7
220.861.941.42
Comparação massa–densidade centralRG · α = 0α = −0,15σ = 20
Ver valores do gráfico
ρc (MeV/fm³)RG · α = 0α = −0,15σ = 20
2200.60.121.45
4001.080.821.75
6501.311.552.02
9501.392.022.27
1.250e+31.412.172.38
1.500e+31.422.22.48
1.750e+31.422.172.57
Leitura comparativa dos presets selecionados
TeoriaParâmetroMassaRaioInterpretação
Relatividade Geralα = 01,42 M☉11,7 kmMáximo da sequência politrópica de referência.
f(R,T) conservadaα = −0,152,2 M☉15,5 kmMáximo indicado pelo critério de retorno usado no artigo.
f(R,ℒm) / GMCσ = 202,57 M☉7,8 kmMaior massa exibida; estabilidade radial não foi demonstrada.

Randall–Sundrum · apenas camada algébrica

\[G_{\mu\nu}=8\pi T^{\mathrm{ef}}_{\mu\nu}\]

A tese deriva um sistema TOV com correções locais e de Weyl, mas não publica curvas numéricas para esta família.

Tese, Eqs. (4.22)–(4.32), pp. 39–41.

Resíduo das curvas e do caso dourado GMC σ = 20: 0
Abaixo de 10⁻⁹; o caso dourado coincide com os pontos curados.