Impor conservação
A divergência nula transforma a EoS em uma equação para \(h_T\).
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados+
Derivar \(h_T(ρ)\) diretamente da conservação covariante para a EoS politrópica \(p=kρ^Γ\).
Antes de começar
- Seguimos a normalização canônica do artigo: \(f(R,T)=R+h(T)\), \(\mathcal L_m=ρ\) e \(T=ρ−3p\).
- A constante \(α\) surge ao integrar uma equação logarítmica; \(α=0\) recupera a RG.
- A derivação vale em intervalos regulares e é estendida por continuidade aos pontos em que \(ρ′\) se anula.
Linha 1 Imponha divergência nula
\[(\rho+p)(\ln h_T)'+\frac12(\rho+3p)'=0\]O que fizemos Zeramos o lado esquerdo da divergência especializada ao fluido perfeito.
Por que é válido Esta é a Eq. (6) do artigo, com \(ℒ m\) igual a rho.
Linha 2 Substitua a politrópica e suas derivadas
\[p=k\rho^\Gamma,\qquad p'=k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\rho',\qquad (\rho+3p)'=\left(1+3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\right)\rho'\]O que fizemos Aplicamos a regra da cadeia à equação de estado.
Por que é válido A EoS usada no artigo relaciona pressão à densidade de energia, não à densidade de partículas.
Linha 3 Troque a derivada radial por derivada em rho
\[\frac{d\ln h_T}{d\rho}=-\frac{1+3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}}{2\left(\rho+k\rho^\Gamma\right)}=-\frac{1+3\Gamma k\rho^{\Gamma-1}}{2\rho\left(1+k\rho^{\Gamma-1}\right)}\]O que fizemos Dividimos por \(ρ′\) e por \(ρ+p\) em um intervalo onde essas grandezas são regulares.
Por que é válido A forma integrada depende apenas do estado local; nos pontos isolados com \(ρ′\) igual a zero, ela é mantida por continuidade.
Linha 4 Integre a derivada logarítmica
\[\ln h_T=C-\frac12\ln\rho-\frac{3\Gamma-1}{2(\Gamma-1)}\ln\!\left(1+k\rho^{\Gamma-1}\right)\]O que fizemos Decompusemos a fração em derivadas logarítmicas e integramos termo a termo.
Por que é válido Derivar esta linha em relação a \(ρ\) reproduz exatamente a fração da linha anterior.
Linha 5 Exponencie e nomeie a constante
\[h_T(\rho)=\alpha\rho^{-1/2}\left(1+k\rho^{\Gamma-1}\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\]O que fizemos Aplicamos a exponencial e definimos \(α=e\) elevado a C.
Por que é válido Uma constante multiplicativa é a única liberdade deixada pela equação de primeira ordem.
Linha 6 Reescreva na forma publicada
\[\boxed{h_T(\rho)=\alpha\left(\rho+k\rho^\Gamma\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}}\]O que fizemos Usamos \(1+kρ^{Γ−1}=(ρ+kρ^Γ)/ρ\) e reunimos as potências de \(ρ\).
Por que é válido Esta é a Eq. (7) do artigo; o expoente final é \(Γ/(Γ−1)\), necessário para que \(Γ=5/3\) produza \(ρ^{5/2}\).