Escolher a constituição da matéria
A EoS linear e a EoS de sacola do MIT determinam funções \(h(T)\) diferentes.
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados+
Mostrar como as EoS linear e de sacola do MIT produzem funções conservativas \(h(T)\) diferentes, sem tratar \(λ\) como parâmetro universal.
Antes de começar
- Esta dedução acompanha a normalização \(R+2h(T)\) usada no capítulo \(4\) da tese; seus \(λ\) não são transportados para a trilha canônica \(R+h(T)\).
- Use \(ω=0,28\) nas famílias exibidas e \(B=60 MeV/fm^{3}\) no preset MIT.
Linha 1 Parta da condição comum
\[(\rho+p)(\ln h_T)'+\frac12(\rho+3p)'=0\]O que fizemos Reutilizamos a relação obtida ao impor nabla mu \(T\) mu nu igual a zero.
Por que é válido É a constituição da matéria, e não uma escolha posterior, que determinará a potência de \(h\).
Linha 2 Resolva o ramo linear
\[p=\omega\rho\quad\Longrightarrow\quad \frac{d\ln h_T}{d\rho}=-\frac{1+3\omega}{2(1+\omega)}\frac1\rho\quad\Longrightarrow\quad h(T)=\lambda_{\rm lin}T^{\frac{1-\omega}{2(1+\omega)}}\]O que fizemos Substituímos \(p\) igual a omega rho, integramos a derivada logarítmica e usamos \(T\) igual a um menos três omega vezes rho.
Por que é válido A constante multiplicativa da primitiva é chamada lambda linear na tese.
Linha 3 Reescreva o traço do modelo MIT
\[p=\omega(\rho-4B),\qquad T=(1-3\omega)\rho+12B\omega,\qquad \rho=\frac{T-12B\omega}{1-3\omega}\]O que fizemos Inserimos a EoS em \(T\) igual a rho menos três \(p\) e isolamos rho.
Por que é válido Esse deslocamento por \(B\) é o motivo de a função conservativa não ser a mesma lei simples do ramo linear.
Linha 4 Integre a condição para \(h\) sub \(T\) no ramo MIT
\[X(T)\equiv\frac{1+\omega}{1-3\omega}(T-12B\omega)-4B\omega,\qquad h_T(T)=C_{\rm MIT}X(T)^{-\frac{1+3\omega}{2(1+\omega)}}\]O que fizemos A condição de conservação dá d ln \(h_T\) por d rho igual a menos um mais três omega sobre duas vezes a quantidade um mais omega rho menos quatro omega \(B\).
Por que é válido Substituir rho em função de \(T\) transforma essa quantidade precisamente em \(X\) de \(T\).
Linha 5 Integre uma vez em \(T\)
\[h_{\rm MIT}(T)=\lambda_{\rm MIT}\left[\frac{1+\omega}{1-3\omega}(T-12B\omega)-4B\omega\right]^{\frac{1-\omega}{2(1+\omega)}}\]O que fizemos Integramos \(h\) sub \(T\) em \(T\) e absorvemos o prefator constante na definição de lambda MIT.
Por que é válido Essa absorção explica por que o coeficiente escrito para \(h_T\) não deve ser comparado isoladamente ao de \(h\) na tese.
Linha 6 Guarde a dependência da EoS
\[\nabla^\mu T_{\mu\nu}=0\quad\Longrightarrow\quad h=h_{\mathrm{EoS}}(T;\lambda_{\mathrm{EoS}})\]O que fizemos Resumimos os dois ramos sem identificar artificialmente suas constantes.
Por que é válido A conservação determina a forma funcional de \(h\); apenas a constante de integração permanece livre dentro de cada ramo.