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Trilha 02 · a matéria seleciona a gravidade

f(R,T) conservada

Use o artigo de \(2019\) como fonte canônica para impor conservação, derivar \(h_T\) e \(h\) da equação de estado politrópica e montar a TOV modificada.

passo01

O fator que multiplica \(h\) muda todos os coeficientes posteriores.

Fixe a normalização canônica

entradaaprovada
\[S=\int\!\left[\frac{f(R,T)}{16\pi}+\mathcal L_m\right]\sqrt{-g}\,d^4x\]

A ação de f de \(R\) e \(T\) soma uma função geométrica–material e a Lagrangiana da matéria.

operação aplicadaEscolha \(f(R,T)=R+h(T)\) exatamente como no artigo publicado.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Fixar uma única convenção para \(h(T)\) antes da variação, de modo que todos os coeficientes posteriores possam ser auditados.

Antes de começar

  • Use unidades naturais \(G=c=1\) e o formalismo métrico.
  • O artigo de \(2019\) é a fonte canônica desta trilha; a convenção \(R+2h(T)\) da tese é mantida apenas para concordância editorial.
  1. Linha 1

    Comece pela ação geral

    \[S=\int\!\left[\frac{f(R,T)}{16\pi}+\mathcal L_m\right]\sqrt{-g}\,d^4x\]
    O que fizemos

    Identificamos separadamente o setor gravitacional e o setor de matéria que serão variados.

    Por que é válido

    Esta é exatamente a ação de partida da Eq. (2) do artigo.

    Conferir emArtigo · Eq. (2) · p. 2 de 8 ↗Tese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
  2. Linha 2

    Escolha o modelo conservativo

    \[f(R,T)=R+h(T)\]
    O que fizemos

    Substituímos a função genérica pela escolha usada em todas as equações do artigo.

    Por que é válido

    A separação deixa o termo de Einstein linear em \(R\) e concentra a modificação no traço \(T\).

    Conferir emArtigo · Eq. (2) · p. 2 de 8 ↗Artigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Abra os três termos da ação

    \[S=\frac1{16\pi}\int R\sqrt{-g}\,d^4x+\frac1{16\pi}\int h(T)\sqrt{-g}\,d^4x+\int\mathcal L_m\sqrt{-g}\,d^4x\]
    O que fizemos

    Distribuímos a integral depois de inserir f igual a \(R\) mais \(h\) de \(T\).

    Por que é válido

    A igualdade é apenas linearidade da integral; nenhum termo físico foi descartado.

    Conferir emArtigo · Eq. (2) · p. 2 de 8 ↗
  4. Linha 4

    Relacione a notação alternativa

    \[R+2\widetilde h(T)=R+h(T)\quad\Longleftrightarrow\quad h(T)=2\widetilde h(T)\]
    O que fizemos

    Escrevemos a redefinição que seria necessária para comparar as duas normalizações.

    Por que é válido

    Sem essa redefinição, as constantes de integração e os coeficientes da TOV não representam o mesmo parâmetro.

    Conferir emArtigo · Eq. (2) · p. 2 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗Tese · Eq. (4.5)–(4.9) · p. 35 ↗
  5. Linha 5

    Marque o limite de Relatividade Geral

    \[h(T)=0\quad\Longrightarrow\quad h_T(T)=0,\qquad f(R,T)=R\]
    O que fizemos

    Aplicamos o caso-limite que servirá de teste em todas as equações seguintes.

    Por que é válido

    Como \(h\) depende somente de \(T\), a função identicamente nula também tem derivada \(h\) sub \(T\) nula.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗
saídaaprovada
\[f(R,T)=R+h(T),\qquad h_T(T)=\frac{dh}{dT}\]

O artigo separa o escalar de Ricci de uma única função \(h\) do traço \(T\).

Regra ou lema

  • \(h\) depende apenas do traço \(T\).
  • \(h=0\) recupera a ação de Einstein–Hilbert com matéria.

Hipóteses

  • Unidades \(G=c=1\).
  • Formalismo métrico.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Parâmetros de \(R+2h\) não podem ser transportados para \(R+h\) sem uma redefinição explícita; por isso cada trilha conserva uma única normalização.

Fontes deste passo
passo02

A dependência no traço acopla \(h\) sub \(T\) diretamente à matéria.

Varie a ação em relação à métrica

entrada 1aprovada
\[S=\int\!\left[\frac{f(R,T)}{16\pi}+\mathcal L_m\right]\sqrt{-g}\,d^4x\]

A ação de f de \(R\) e \(T\) soma uma função geométrica–material e a Lagrangiana da matéria.

entrada 2aprovada
\[f(R,T)=R+h(T),\qquad h_T(T)=\frac{dh}{dT}\]

O artigo separa o escalar de Ricci de uma única função \(h\) do traço \(T\).

operação aplicadaAplique a variação métrica, reorganize o termo de Einstein e use a definição do tensor energia–momento.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Variar a ação canônica em relação à métrica e localizar, sem saltos, as duas correções de matéria nas equações de campo.

Antes de começar

  • Mantenha fixos os dados na fronteira, de modo que o termo de contorno da variação de \(R\) não contribua.
  • Admita que a lagrangiana da matéria não contém derivadas da métrica.
  1. Linha 1

    Escreva as variações básicas

    \[\delta\sqrt{-g}=-\frac12\sqrt{-g}\,g_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu},\qquad \delta(\sqrt{-g}\mathcal L_m)=-\frac12\sqrt{-g}\,T_{\mu\nu}\delta g^{\mu\nu}\]
    O que fizemos

    Substituímos as duas identidades métricas na variação da ação.

    Por que é válido

    A segunda igualdade é a definição variacional de \(T\) mu nu para uma lagrangiana sem derivadas da métrica.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
  2. Linha 2

    Varie o traço

    \[\delta T=\delta(g^{\alpha\beta}T_{\alpha\beta})=(T_{\mu\nu}+\Theta_{\mu\nu})\delta g^{\mu\nu},\qquad \Theta_{\mu\nu}\equiv g^{\alpha\beta}\frac{\delta T_{\alpha\beta}}{\delta g^{\mu\nu}}\]
    O que fizemos

    Aplicamos a regra do produto ao traço e definimos o tensor auxiliar Theta.

    Por que é válido

    Ignorar Theta eliminaria justamente a resposta da matéria à variação da métrica.

    Conferir emTese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
  3. Linha 3

    Junte os coeficientes de delta g

    \[\delta S=\frac1{16\pi}\int\!\sqrt{-g}\,\Big[G_{\mu\nu}-\frac12h\,g_{\mu\nu}+h_T(T_{\mu\nu}+\Theta_{\mu\nu})-8\pi T_{\mu\nu}\Big]\delta g^{\mu\nu}\,d^4x\]
    O que fizemos

    Somamos a variação de \(R\), de \(h\) de \(T\), do determinante e da matéria.

    Por que é válido

    A arbitrariedade de delta g permite igualar esse colchete a zero no interior.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
  4. Linha 4

    Especialize a resposta da matéria

    \[\Theta_{\mu\nu}=-2T_{\mu\nu}+\mathcal L_m g_{\mu\nu}\quad\Longrightarrow\quad T_{\mu\nu}+\Theta_{\mu\nu}=-T_{\mu\nu}+\mathcal L_m g_{\mu\nu}\]
    O que fizemos

    Inserimos a identidade material usada na derivação das equações publicadas.

    Por que é válido

    A hipótese sobre derivadas da métrica é a condição que permite essa forma algébrica.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
  5. Linha 5

    Isole o tensor de Einstein

    \[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}+\frac12h(T)g_{\mu\nu}+h_T(T)\bigl(T_{\mu\nu}-\mathcal L_m g_{\mu\nu}\bigr)\]
    O que fizemos

    Igualamos o colchete variacional a zero, substituímos Theta e movemos os termos não geométricos para o lado direito.

    Por que é válido

    A expressão coincide com a Eq. (3) do artigo na normalização \(R\) mais \(h\) de \(T\).

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (3.4)–(3.11) · p. 25–26 ↗
saídaaprovada
\[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}+\frac12h(T)g_{\mu\nu}+h_T(T)\!\left(T_{\mu\nu}-\mathcal L_m g_{\mu\nu}\right)\]

As equações de campo contêm a Relatividade Geral, uma contribuição escalar \(h\) e um acoplamento \(h\) sub \(T\) à matéria.

Regra ou lema

  • \(δ√−g=−½√−g g_{μν}δg^{μν}\).
  • \(h_T=dh/dT\).

Hipóteses

  • A Lagrangiana de matéria não contém derivadas da métrica.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Há duas correções distintas: \(h g_{μν}/2\) é escalar; \(h_T(T_{μν}−\mathcal L_mg_{μν})\) depende da constituição material.

Fontes deste passo
passo03

Em \(f(R,T)\), conservação não vem automaticamente da forma geral de \(h\).

Calcule a divergência antes de impô-la

entradaaprovada
\[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}+\frac12h(T)g_{\mu\nu}+h_T(T)\!\left(T_{\mu\nu}-\mathcal L_m g_{\mu\nu}\right)\]

As equações de campo contêm a Relatividade Geral, uma contribuição escalar \(h\) e um acoplamento \(h\) sub \(T\) à matéria.

operação aplicadaAplique \(∇^μ\), use Bianchi e isole \(∇^μT_{μν}\).
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Aplicar a divergência covariante às equações de campo e isolar a não conservação geral de \(T\) mu nu.

Antes de começar

  • Use a conexão de Levi-Civita, compatível com a métrica.
  • Considere o ramo regular em que \(8π+h_T\) não se anula.
  1. Linha 1

    Aplique a divergência aos dois lados

    \[0=8\pi\nabla^\mu T_{\mu\nu}+\frac12\nabla_\nu h+\nabla^\mu\!\left[h_T\bigl(T_{\mu\nu}-\mathcal L_m g_{\mu\nu}\bigr)\right]\]
    O que fizemos

    Aplicamos nabla mu e usamos a identidade de Bianchi contraída.

    Por que é válido

    A compatibilidade métrica garante nabla mu g mu nu igual a zero.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
  2. Linha 2

    Expanda pela regra de Leibniz

    \[\begin{aligned}0={}&8\pi X_\nu+\frac12h_T\nabla_\nu T+\bigl(T_{\mu\nu}-\mathcal L_mg_{\mu\nu}\bigr)\nabla^\mu h_T\\&+h_T\bigl(X_\nu-\nabla_\nu\mathcal L_m\bigr),\qquad X_\nu\equiv\nabla^\mu T_{\mu\nu}.\end{aligned}\]
    O que fizemos

    Usamos nabla nu \(h\) igual a \(h\) sub \(T\) vezes nabla nu \(T\) e distribuímos a derivada covariante.

    Por que é válido

    Como \(h\) depende somente de \(T\), a regra da cadeia é suficiente para derivar \(h\).

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Colete a divergência desconhecida

    \[(8\pi+h_T)X_\nu=h_T\nabla_\nu\!\left(\mathcal L_m-\frac12T\right)+\bigl(\mathcal L_mg_{\mu\nu}-T_{\mu\nu}\bigr)\nabla^\mu h_T\]
    O que fizemos

    Movemos os termos e agrupamos nabla nu L \(m\) menos metade de nabla nu \(T\).

    Por que é válido

    O coeficiente \(8π+h_T\) surge porque \(X\) nu aparece tanto no termo de Einstein quanto na derivada do acoplamento.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
  4. Linha 4

    Fatore a derivada logarítmica

    \[\nabla^\mu h_T=h_T\nabla^\mu\ln h_T\]
    O que fizemos

    Aplicamos a identidade diferencial no ramo não trivial \(h\) sub \(T\) diferente de zero.

    Por que é válido

    Essa fatoração deixa um único \(h_T\) multiplicando todo o lado direito.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Divida pelo coeficiente de \(X\) nu

    \[\nabla^\mu T_{\mu\nu}=\frac{h_T}{8\pi+h_T}\!\left[\bigl(\mathcal L_mg_{\mu\nu}-T_{\mu\nu}\bigr)\nabla^\mu\ln h_T+g_{\mu\nu}\nabla^\mu\!\left(\mathcal L_m-\frac12T\right)\right]\]
    O que fizemos

    Dividimos a linha anterior por \(8π+h_T\) e recolocamos \(X\) nu em sua definição.

    Por que é válido

    Esta é a Eq. (4) publicada; ela resolve os denominadores incompatíveis impressos na tese.

    Conferir emArtigo · Eq. (3)–(4) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
saídaaprovada
\[\nabla^\mu T_{\mu\nu}=\frac{h_T}{8\pi+h_T}\!\left[(\mathcal L_m g_{\mu\nu}-T_{\mu\nu})\nabla^\mu\ln h_T+g_{\mu\nu}\nabla^\mu\!\left(\mathcal L_m-\frac12T\right)\right]\]

A divergência geral de \(T\) não é nula; sua forma depende de \(h\) sub \(T\) e da Lagrangiana da matéria.

Regra ou lema

  • \(∇^μG_{μν}=0\).
  • Regra de Leibniz em \(h_T(T)\).

Hipóteses

  • Conexão de Levi-Civita.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

O denominador correto desta cadeia é \(8π+h_T\); nenhuma das duas versões incompatíveis da tese é usada para calcular.

Fontes deste passo
passo04

A condição física transforma-se numa equação diferencial para \(h\) sub \(T\).

Imponha conservação no interior estático

entrada 1aprovada
\[\nabla^\mu T_{\mu\nu}=\frac{h_T}{8\pi+h_T}\!\left[(\mathcal L_m g_{\mu\nu}-T_{\mu\nu})\nabla^\mu\ln h_T+g_{\mu\nu}\nabla^\mu\!\left(\mathcal L_m-\frac12T\right)\right]\]

A divergência geral de \(T\) não é nula; sua forma depende de \(h\) sub \(T\) e da Lagrangiana da matéria.

entrada 2aprovada
\[\begin{aligned}ds^2&=e^{\phi(r)}dt^2-e^{\psi(r)}dr^2-r^2\!\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2\right),\\ T^\mu{}_{\nu}&=\operatorname{diag}(\rho,-p,-p,-p).\end{aligned}\]

A estrela é estática, esfericamente simétrica e preenchida por um fluido perfeito com densidade rho e pressão \(p\).

operação aplicadaDefina \(\mathcal L_m=ρ\), escolha \(ν=r\), imponha \(∇^μT_{μr}=0\) e use \(T=ρ−3p\).
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Transformar a condição física de conservação em uma equação radial que determina \(h_T\) no interior do fluido.

Antes de começar

  • Escolha \(\mathcal L_m=ρ\) como no artigo e use assinatura métrica +---.
  • Considere um fluido perfeito estático e o ramo modificacional \(h_T\) diferente de zero; \(h_T=0\) é o ramo de Relatividade Geral.
  1. Linha 1

    Zere a divergência

    \[0=\bigl(\mathcal L_mg_{\mu r}-T_{\mu r}\bigr)\nabla^\mu\ln h_T+g_{\mu r}\nabla^\mu\!\left(\mathcal L_m-\frac12T\right)\]
    O que fizemos

    Impondo nabla mu \(T\) mu \(r\) igual a zero, eliminamos o prefator não nulo e escolhemos nu igual a \(r\).

    Por que é válido

    A simetria estática faz da direção radial a única derivada espacial relevante.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
  2. Linha 2

    Avalie o tensor no referencial comóvel

    \[u_r=0,\qquad T_{\mu r}=-p\,g_{\mu r},\qquad \rho g_{\mu r}-T_{\mu r}=(\rho+p)g_{\mu r}\]
    O que fizemos

    Inserimos \(T\) mu nu igual a rho mais \(p\) vezes \(u\) mu \(u\) nu menos \(p\) g mu nu e usamos \(u r\) igual a zero.

    Por que é válido

    A escolha \(\mathcal L_m=ρ\) converte o primeiro fator exatamente em rho mais \(p\).

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Calcule a combinação escalar

    \[T=\rho-3p\quad\Longrightarrow\quad \mathcal L_m-\frac12T=\rho-\frac12(\rho-3p)=\frac12(\rho+3p)\]
    O que fizemos

    Substituímos o traço de um fluido perfeito em quatro dimensões.

    Por que é válido

    A assinatura e a forma de \(T\) mu nu fixadas no início dão \(T\) igual a rho menos três \(p\).

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
  4. Linha 4

    Converta os gradientes em derivadas radiais

    \[0=(\rho+p)\frac{d}{dr}\ln h_T+\frac12\frac{d}{dr}(\rho+3p)\]
    O que fizemos

    Contraímos g mu \(r\) com nabla mu e usamos que rho, \(p\) e \(h\) sub \(T\) dependem somente de \(r\).

    Por que é válido

    Para um escalar, a derivada covariante coincide com a derivada parcial.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Adote a notação compacta

    \[(\rho+p)(\ln h_T)'+\frac12(\rho+3p)'=0\]
    O que fizemos

    Substituímos d por dr pelo símbolo linha usado no artigo.

    Por que é válido

    A expressão coincide com a Eq. (6) e deixa explícito que a equação de estado selecionará \(h\).

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.1)–(4.4) · p. 33–34 ↗
saídaaprovada
\[(\rho+p)(\ln h_T)'+\frac12(\rho+3p)'=0\]

Com Lagrangiana de matéria igual a rho, métrica esférica e conservação imposta, \(h\) sub \(T\) obedece uma equação radial de primeira ordem.

Regra ou lema

  • Derivada radial indicada por linha.
  • Traço de fluido perfeito \(T=ρ−3p\).

Hipóteses

  • \(\mathcal L_m=ρ\), como no artigo.
  • Fluido perfeito estático.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

A teoria conservada não permite escolher \(h\) e a equação de estado independentemente: uma determina a outra.

Fontes deste passo
passo05

A equação de estado politrópica fecha a equação de conservação.

Deixe a matéria selecionar \(h\) sub \(T\)

entrada 1aprovada
\[(\rho+p)(\ln h_T)'+\frac12(\rho+3p)'=0\]

Com Lagrangiana de matéria igual a rho, métrica esférica e conservação imposta, \(h\) sub \(T\) obedece uma equação radial de primeira ordem.

entrada 2aprovada
\[p=k\rho^\Gamma\]

A pressão é \(k\) vezes a densidade de energia elevada ao índice adiabático Gamma.

operação aplicadaSubstitua \(p=kρ^Γ\), escreva todas as derivadas em função de \(ρ\) e integre ln \(h_T\).
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Resolver a condição de conservação para \(h_T\) quando a matéria obedece à equação de estado \(p=kρ^Γ\).

Antes de começar

  • Trabalhe no domínio \(ρ>0\), \(k>0\) e \(Γ≠1\).
  • Considere trechos do interior em que \(ρ'\) não é zero; o resultado continua por continuidade nos pontos estacionários.
  1. Linha 1

    Substitua a equação de estado

    \[p=k\rho^\Gamma,\qquad p'=k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\rho'\]
    O que fizemos

    Aplicamos a regra da potência à EoS politrópica.

    Por que é válido

    O artigo usa uma politrópica na densidade de energia, não em \(p\) nem na densidade de partículas.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  2. Linha 2

    Expanda a equação de conservação

    \[\rho(1+k\rho^{\Gamma-1})(\ln h_T)'+\frac12\bigl(1+3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\bigr)\rho'=0\]
    O que fizemos

    Inserimos \(p\) e \(p\) linha em rho mais \(p\) e em rho linha mais três \(p\) linha.

    Por que é válido

    Fatorar rho no primeiro parêntese prepara a mudança de variável de \(r\) para rho.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Troque a variável de integração

    \[\frac{d\ln h_T}{d\rho}=-\frac{1+3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}}{2\rho\bigl(1+k\rho^{\Gamma-1}\bigr)}\]
    O que fizemos

    Usamos (ln \(h_T)'\) igual a d ln \(h_T\) por d rho vezes rho linha e cancelamos rho linha.

    Por que é válido

    Nenhuma informação sobre o perfil radial é necessária para determinar a forma funcional de \(h_T\).

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  4. Linha 4

    Decomponha em derivadas de logaritmos

    \[\frac{d\ln h_T}{d\rho}=\frac{\Gamma}{\Gamma-1}\frac1\rho+\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}\frac{d}{d\rho}\ln(\rho+k\rho^\Gamma)\]
    O que fizemos

    Colocamos a expressão sobre o mesmo denominador para identificar os coeficientes.

    Por que é válido

    Ao recombinar os termos, o numerador volta a menos um menos três \(k\) Gamma rho à potência Gamma menos um, dividido por dois.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Integre os logaritmos

    \[\ln|h_T|=\ln|\alpha|+\frac{\Gamma}{\Gamma-1}\ln\rho+\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}\ln(\rho+k\rho^\Gamma)\]
    O que fizemos

    Integramos cada derivada da linha anterior em rho.

    Por que é válido

    Os módulos mantêm válida a integração também para o ramo de alfa negativo exibido nas curvas.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  6. Linha 6

    Exponencie o resultado

    \[h_T(\rho)=\alpha\,(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\]
    O que fizemos

    Aplicamos a exponencial à soma de logaritmos e usamos exp de uma soma como produto.

    Por que é válido

    Esta é a Eq. (7) do artigo; ela corrige a variável politrópica impressa de forma inconsistente na tese.

    Conferir emArtigo · Eq. (5)–(7) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
saídaaprovada
\[h_T(\rho)=\alpha\,(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\]

A conservação seleciona \(h\) sub \(T\) a partir da equação de estado, deixando apenas a constante de integração alfa.

Regra ou lema

  • \(p′=kΓρ^{Γ−1}ρ′\).
  • Integração logarítmica.

Hipóteses

  • \(Γ≠1\) e \(3Γ≠1\) nos passos algébricos gerais.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

O único parâmetro novo é \(α\), constante de integração; a dependência funcional já foi fixada por \(k\) e \(Γ\).

Fontes deste passo
passo06

A primitiva geral exige funções hipergeométricas de Gauss.

Integre a forma geral de \(h\)

entradaaprovada
\[h_T(\rho)=\alpha\,(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\]

A conservação seleciona \(h\) sub \(T\) a partir da equação de estado, deixando apenas a constante de integração alfa.

operação aplicadaUse \(dh/dρ=h_T(dT/dρ)\), com \(T=ρ−3kρ^Γ\), e integre sem trocar \(Γ\) por outro símbolo.
Cálculo linha por linha7 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Converter \(h_T=dh/dT\) em uma primitiva \(h(ρ)\) e mostrar por que duas funções hipergeométricas aparecem.

Antes de começar

  • Use \(T(ρ)=ρ-3kρ^Γ\) e o ramo real já escolhido para as potências.
  • Mantenha \(Γ\) como único símbolo para o índice politrópico; a letra n que aparece uma vez na tese é um lapso editorial.
  1. Linha 1

    Aplique a regra da cadeia

    \[\frac{dh}{d\rho}=\frac{dh}{dT}\frac{dT}{d\rho}=h_T(\rho)\frac{dT}{d\rho}\]
    O que fizemos

    Inserimos \(T\) como variável intermediária entre \(h\) e rho.

    Por que é válido

    Essa identidade é necessária porque a forma já resolvida é \(h_T\), mas a integração será feita em rho.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  2. Linha 2

    Derive o traço politrópico

    \[T(\rho)=\rho-3k\rho^\Gamma\quad\Longrightarrow\quad \frac{dT}{d\rho}=1-3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\]
    O que fizemos

    Derivamos rho menos três vezes a pressão em relação a rho.

    Por que é válido

    O fator Gamma vem da regra da potência aplicada à EoS.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  3. Linha 3

    Monte o integrando

    \[\frac{dh}{d\rho}=\alpha\bigl(1-3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\bigr)(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\]
    O que fizemos

    Substituímos \(h\) sub \(T\) e a derivada do traço na regra da cadeia.

    Por que é válido

    A linha coincide com a integral intermediária publicada, com \(p\) substituída por \(k\) rho à Gamma.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  4. Linha 4

    Fatore a potência comum

    \[\frac{dh}{d\rho}=\alpha\rho^{-1/2}\bigl(1-3k\Gamma\rho^{\Gamma-1}\bigr)\bigl(1+k\rho^{\Gamma-1}\bigr)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\]
    O que fizemos

    Usamos rho mais \(k\) rho à Gamma igual a rho vezes um mais \(k\) rho à Gamma menos um e somamos os expoentes.

    Por que é válido

    A identidade entre os expoentes é Gamma sobre Gamma menos um mais um menos três Gamma sobre dois Gamma menos dois igual a menos um meio.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Separe as duas primitivas

    \[h=\alpha\!\int\!\rho^{-1/2}(1+k\rho^{\Gamma-1})^A d\rho-3\alpha k\Gamma\!\int\!\rho^{\Gamma-3/2}(1+k\rho^{\Gamma-1})^A d\rho,\quad A=\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}\]
    O que fizemos

    Distribuímos o produto e definimos A para tornar visível a estrutura comum.

    Por que é válido

    Cada integral tem a forma potência vezes potência de um binômio, a forma padrão que produz a função hipergeométrica de Gauss.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗
  6. Linha 6

    Use a primitiva hipergeométrica

    \[\int\rho^{q-1}(1+k\rho^{\Gamma-1})^A d\rho=\frac{\rho^q}{q}\,{}_2F_1\!\left(-A,\frac{q}{\Gamma-1};1+\frac{q}{\Gamma-1};-k\rho^{\Gamma-1}\right)\]
    O que fizemos

    Aplicamos a definição integral da função hipergeométrica às duas parcelas.

    Por que é válido

    Transformações usuais de 2F1 permitem reescrever o argumento como menos rho à um menos Gamma dividido por \(k\), a forma impressa no artigo.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗
  7. Linha 7

    Reúna a forma publicada

    \[\begin{aligned}h(\rho)={}&\frac{2\alpha}{3\Gamma-2}\,\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\left(\frac{\rho^{1-\Gamma}+k}{k}\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)}}(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\\&\times\Bigg[3(3\Gamma-2)k\rho^\Gamma\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)};\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)}+1;-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\\&\qquad-\rho\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{2-3\Gamma}{2(1-\Gamma)};\frac{4-5\Gamma}{2(1-\Gamma)};-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\Bigg].\end{aligned}\]
    O que fizemos

    Aplicamos a transformação de argumento, colocamos fatores comuns em evidência e somamos as duas parcelas.

    Por que é válido

    A forma coincide visualmente com a Eq. (8); em ambos os argumentos aparece rho elevado a um menos Gamma, nunca rho elevado a um menos n.

    Conferir emArtigo · Eq. (8) · p. 3 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
saídaaprovada
\[\begin{aligned}h(\rho)={}&\frac{2\alpha}{3\Gamma-2}\,\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}} \left(\frac{\rho^{1-\Gamma}+k}{k}\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)}} (\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\\ &\times\Bigg[3(3\Gamma-2)k\rho^\Gamma\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)};\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)}+1;-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\\ &\qquad-\rho\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{2-3\Gamma}{2(1-\Gamma)};\frac{4-5\Gamma}{2(1-\Gamma)};-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\Bigg].\end{aligned}\]

A integral geral de \(h\) sub \(T\) é expressa por duas funções hipergeométricas de Gauss.

Regra ou lema

  • Regra da cadeia.
  • Definição de \({}_2F_1\).

Hipóteses

  • Domínio real escolhido para as potências e para a equação de estado.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Os dois argumentos finais contêm \(−ρ^{1−Γ}/k\). Esse detalhe distingue a Eq. (8) publicada do lapso \(ρ^{1−n}\) da tese.

Fontes deste passo
passo07

O preset de estrelas de nêutrons admite uma forma elementar fechada.

Especialize para \(Γ=5/3\)

entrada 1aprovada
\[\Gamma=\frac53,\qquad h_T(\rho)=\alpha\frac{\rho^{5/2}}{(\rho+k\rho^{5/3})^3}\]

Para Gamma igual a cinco terços, \(h\) sub \(T\) torna-se uma função racional de potências de rho.

entrada 2aprovada
\[\begin{aligned}h(\rho)={}&\frac{2\alpha}{3\Gamma-2}\,\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}} \left(\frac{\rho^{1-\Gamma}+k}{k}\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)}} (\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\\ &\times\Bigg[3(3\Gamma-2)k\rho^\Gamma\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)};\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)}+1;-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\\ &\qquad-\rho\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{2-3\Gamma}{2(1-\Gamma)};\frac{4-5\Gamma}{2(1-\Gamma)};-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\Bigg].\end{aligned}\]

A integral geral de \(h\) sub \(T\) é expressa por duas funções hipergeométricas de Gauss.

operação aplicadaSubstitua \(Γ=5/3\) e integre a Eq. (9), preservando os ramos reais de log e arcotangente.
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Especializar a solução conservativa em \(Γ=5/3\) e reduzir sua integral a logaritmos, arcotangentes e termos racionais.

Antes de começar

  • Considere \(ρ>0\) e \(k>0\) para manter reais as raízes fracionárias.
  • A constante aditiva de \(h\) é absorvida na escolha de referência da função.
  1. Linha 1

    Calcule os expoentes

    \[\Gamma=\frac53:\qquad \frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}=-3,\qquad \frac{\Gamma}{\Gamma-1}=\frac52\]
    O que fizemos

    Substituímos Gamma igual a cinco terços e simplificamos as frações.

    Por que é válido

    Esses valores transformam \(h\) sub \(T\) em uma razão de potências elementares.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  2. Linha 2

    Obtenha \(h\) sub \(T\)

    \[h_T(\rho)=\alpha\frac{\rho^{5/2}}{(\rho+k\rho^{5/3})^3}\]
    O que fizemos

    Inserimos os expoentes calculados na solução geral.

    Por que é válido

    Esta é a Eq. (9) do artigo e será o teste diferencial da primitiva.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Inclua a derivada do traço

    \[\frac{dh}{d\rho}=h_T\frac{d}{d\rho}(\rho-3k\rho^{5/3})=\alpha\frac{\rho^{-1/2}(1-5k\rho^{2/3})}{(1+k\rho^{2/3})^3}\]
    O que fizemos

    Derivamos o traço e fatoramos rho ao cubo no denominador.

    Por que é válido

    O fator um menos cinco \(k\) rho a dois terços vem de dT por d rho.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  4. Linha 4

    Troque para uma variável racional

    \[x=\rho^{1/6}\quad\Longrightarrow\quad dh=6\alpha\frac{x^2(1-5kx^4)}{(1+kx^4)^3}\,dx\]
    O que fizemos

    Usamos rho igual a \(x\) à sexta e d rho igual a seis \(x\) à quinta dx.

    Por que é válido

    Depois da troca, a integral é uma função racional de \(x\) e pode ser decomposta em frações parciais.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Fatore o quarteto real

    \[1+kx^4=(\sqrt{k}x^2+\sqrt2\,k^{1/4}x+1)(\sqrt{k}x^2-\sqrt2\,k^{1/4}x+1)\]
    O que fizemos

    Usamos uma diferença de quadrados para preparar a decomposição em frações parciais.

    Por que é válido

    A integração dos termos lineares sobre esses quadráticos gera os logaritmos e as arcotangentes da resposta.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗
  6. Linha 6

    Integre as frações parciais

    \[\begin{aligned}h(\rho)=\frac{3\alpha}{64}\Bigg[&\frac{5\sqrt2}{k^{3/4}}\ln\!\left(\sqrt{k}\sqrt[3]{\rho}+\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}+1\right)-\frac{5\sqrt2}{k^{3/4}}\ln\!\left(\sqrt{k}\sqrt[3]{\rho}-\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}+1\right)\\&+\frac{10\sqrt2}{k^{3/4}}\tan^{-1}\!\left(1-\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}\right)-\frac{10\sqrt2}{k^{3/4}}\tan^{-1}\!\left(1+\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}\right)\\&-\frac{40\rho}{k\rho^{2/3}+1}+\frac{96\sqrt\rho}{(k\rho^{2/3}+1)^2}\Bigg].\end{aligned}\]
    O que fizemos

    Integramos a decomposição racional em \(x\) e recolocamos \(x\) igual à raiz sexta de rho.

    Por que é válido

    A expressão é a Eq. (10) publicada, transcrita com os mesmos ramos reais.

    Conferir emArtigo · Eq. (9)–(10) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
saídaaprovada
\[\begin{aligned}h(\rho)=\frac{3\alpha}{64}\Bigg[&\frac{5\sqrt2}{k^{3/4}}\ln\!\left(\sqrt{k}\sqrt[3]{\rho}+\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}+1\right)\\ &-\frac{5\sqrt2}{k^{3/4}}\ln\!\left(\sqrt{k}\sqrt[3]{\rho}-\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}+1\right)\\ &+\frac{10\sqrt2}{k^{3/4}}\tan^{-1}\!\left(1-\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}\right)\\ &-\frac{10\sqrt2}{k^{3/4}}\tan^{-1}\!\left(1+\sqrt2\sqrt[4]{k}\sqrt[6]{\rho}\right)\\ &-\frac{40\rho}{k\rho^{2/3}+1}+\frac{96\sqrt\rho}{(k\rho^{2/3}+1)^2}\Bigg].\end{aligned}\]

Para Gamma igual a cinco terços, \(h\) combina dois logaritmos, duas arcotangentes e dois termos racionais.

Regra ou lema

  • Potências fracionárias reais para \(ρ>0\) e \(k>0\).
  • Constante aditiva absorvida na escolha de \(h\).

Hipóteses

  • \(ρ>0\).
  • \(k>0\).
  • \(Γ=5/3\).
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Derivar numericamente esta expressão em relação a \(T\) deve reproduzir \(h_T\) da Eq. (9) nos casos dourados.

Fontes deste passo
passo08

A correção \(h\) entra como uma densidade geométrica efetiva.

Recalcule a massa encerrada

entrada 1aprovada
\[G_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}+\frac12h(T)g_{\mu\nu}+h_T(T)\!\left(T_{\mu\nu}-\mathcal L_m g_{\mu\nu}\right)\]

As equações de campo contêm a Relatividade Geral, uma contribuição escalar \(h\) e um acoplamento \(h\) sub \(T\) à matéria.

entrada 2aprovada
\[\begin{aligned}\frac{e^{-\psi}}{r^2}(e^\psi+\psi'r-1)&=8\pi\rho+\frac12h(\rho),\\ \frac{e^{-\psi}}{r^2}(1-e^\psi+\phi'r)&=8\pi p-\frac12h(\rho)-h_T(\rho)(p-\rho).\end{aligned}\]

As componentes temporal e radial recebem correções de \(h\) e \(h\) sub \(T\).

entrada 3aprovada
\[e^{-\psi(r)}=1-\frac{2m(r)}{r}\]

A função massa \(m\) de \(r\) é introduzida no potencial radial da métrica.

operação aplicadaSubstitua \(e^{-ψ}=1−2m/r\) na componente temporal e isole m′.
Cálculo linha por linha5 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Inserir a função massa na componente temporal e isolar a taxa de crescimento da massa encerrada.

Antes de começar

  • Use \(e^{-ψ}=1-2m(r)/r\) e a componente temporal da Eq. (11a).
  • Mantenha \(h(ρ)\) selecionada pela mesma EoS usada no fluido.
  1. Linha 1

    Defina a abreviação radial

    \[F(r)\equiv e^{-\psi}=1-\frac{2m}{r},\qquad e^\psi=F^{-1}\]
    O que fizemos

    Introduzimos uma abreviação para reduzir a álgebra da componente temporal.

    Por que é válido

    É a mesma definição de massa de Schwarzschild usada na derivação de TOV em Relatividade Geral.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  2. Linha 2

    Derive F e psi

    \[F'=-\frac{2m'}r+\frac{2m}{r^2},\qquad \psi'=-\frac{F'}F\]
    O que fizemos

    Derivamos F e usamos F igual a exponencial de menos psi.

    Por que é válido

    A segunda identidade segue da derivada logarítmica de F.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Simplifique o lado geométrico

    \[\frac{e^{-\psi}}{r^2}(e^\psi+\psi'r-1)=\frac{1-F-rF'}{r^2}=\frac{2m'}{r^2}\]
    O que fizemos

    Substituímos F, psi linha e F linha; os termos proporcionais a \(m\) sobre \(r\) cancelam.

    Por que é válido

    O cancelamento é a razão pela qual \(m(r)\) representa diretamente a massa encerrada.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  4. Linha 4

    Iguale à fonte efetiva

    \[\frac{2m'}{r^2}=8\pi\rho+\frac12h(\rho)\]
    O que fizemos

    Substituímos a simplificação geométrica na Eq. (11a).

    Por que é válido

    Nenhum termo \(h_T\) aparece nessa componente publicada; ele entrará na componente radial.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  5. Linha 5

    Divida por dois

    \[\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho+\frac14r^2h(\rho)\]
    O que fizemos

    Multiplicamos a linha anterior por \(r\) ao quadrado sobre dois.

    Por que é válido

    O resultado coincide com a Eq. (13) do artigo.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
saídaaprovada
\[\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho+\frac14r^2h(\rho)\]

A função massa recebe uma densidade efetiva adicional proporcional a \(h\).

Regra ou lema

  • Mesma função massa usada na trilha de RG.
  • Álgebra da componente temporal.

Hipóteses

  • \(h(ρ)\) é a forma selecionada pela equação de estado.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Quando \(α=0\), \(h=h_T=0\) e m′ volta exatamente a \(4πr^{2}ρ\).

Fontes deste passo
passo09

A pressão sente \(h\) diretamente e também por sua derivada \(h\) sub \(T\).

Monte a TOV conservada

entrada 1aprovada
\[\begin{aligned}\frac{e^{-\psi}}{r^2}(e^\psi+\psi'r-1)&=8\pi\rho+\frac12h(\rho),\\ \frac{e^{-\psi}}{r^2}(1-e^\psi+\phi'r)&=8\pi p-\frac12h(\rho)-h_T(\rho)(p-\rho).\end{aligned}\]

As componentes temporal e radial recebem correções de \(h\) e \(h\) sub \(T\).

entrada 2aprovada
\[\nabla_\mu T^\mu{}_{r}=0\quad\Longrightarrow\quad p'=-\frac12(\rho+p)\phi'\]

A conservação radial do tensor energia–momento relaciona o gradiente de pressão ao potencial temporal.

entrada 3aprovada
\[h_T(\rho)=\alpha\,(\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}}\]

A conservação seleciona \(h\) sub \(T\) a partir da equação de estado, deixando apenas a constante de integração alfa.

entrada 4aprovada
\[\begin{aligned}h(\rho)={}&\frac{2\alpha}{3\Gamma-2}\,\rho^{\frac{\Gamma}{\Gamma-1}} \left(\frac{\rho^{1-\Gamma}+k}{k}\right)^{\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)}} (\rho+k\rho^\Gamma)^{\frac{1-3\Gamma}{2(\Gamma-1)}}\\ &\times\Bigg[3(3\Gamma-2)k\rho^\Gamma\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)};\frac{\Gamma}{2(\Gamma-1)}+1;-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\\ &\qquad-\rho\,{}_2F_1\!\left(\frac{1-3\Gamma}{2(1-\Gamma)},\frac{2-3\Gamma}{2(1-\Gamma)};\frac{4-5\Gamma}{2(1-\Gamma)};-\frac{\rho^{1-\Gamma}}{k}\right)\Bigg].\end{aligned}\]

A integral geral de \(h\) sub \(T\) é expressa por duas funções hipergeométricas de Gauss.

operação aplicadaIsole \(φ′\) na componente radial e substitua na conservação \(p′=−(ρ+p)φ′/2\).
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Isolar o potencial métrico na componente radial e inseri-lo na conservação para obter a TOV modificada.

Antes de começar

  • Use \(F=1-2m/r\) e permaneça no exterior de qualquer horizonte interno, \(F>0\).
  • Use a mesma EoS tanto na construção de \(h,h_T\) quanto na relação \(ρ(p)\) durante o equilíbrio.
  1. Linha 1

    Agrupe a fonte radial

    \[K(\rho,p)\equiv8\pi p-\frac12h(\rho)-h_T(\rho)(p-\rho)\]
    O que fizemos

    Definimos uma abreviação para o lado direito da Eq. (11b).

    Por que é válido

    Manter \(h\) e \(h_T\) separados evita perder o fator um meio que aparecerá ao isolar phi linha sobre dois.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  2. Linha 2

    Substitua a função massa

    \[\frac{F}{r^2}\left(1-F^{-1}+\phi'r\right)=K\quad\Longrightarrow\quad-\frac{2m}{r^3}+\frac{F\phi'}r=K\]
    O que fizemos

    Usamos e psi igual a F inversa e F menos um igual a menos dois \(m\) sobre \(r\).

    Por que é válido

    A álgebra preserva o sinal do termo de massa antes de ele ser movido para a direita.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Isole metade de phi linha

    \[\frac{\phi'}2=\frac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r}\]
    O que fizemos

    Somamos dois \(m\) sobre \(r\) ao cubo, multiplicamos por \(r\) sobre F e dividimos K por dois.

    Por que é válido

    A divisão de K por dois gera exatamente os coeficientes um quarto de \(h\) e um meio de \(h\) sub \(T\).

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  4. Linha 4

    Use a conservação hidrostática

    \[\nabla^\mu T_{\mu r}=0\quad\Longrightarrow\quad p'=-\frac12(\rho+p)\phi'\]
    O que fizemos

    Especializamos a conservação do fluido perfeito à componente radial estática.

    Por que é válido

    Esta relação é a Eq. (14) e permanece com a forma de Relatividade Geral porque a conservação foi imposta por construção.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Substitua o potencial

    \[\frac{dp}{dr}=-(\rho+p)\frac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r}\]
    O que fizemos

    Inserimos a expressão de phi linha sobre dois diretamente na equação de conservação.

    Por que é válido

    O resultado é a Eq. (15) do artigo e a Eq. (4.13) saneada pela convenção canônica.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Tese · Eq. (4.10)–(4.13) · p. 36–37 ↗
  6. Linha 6

    Faça o teste de Relatividade Geral

    \[\alpha=0\quad\Longrightarrow\quad h=h_T=0,\qquad p'=-(\rho+p)\frac{m+4\pi pr^3}{r(r-2m)}\]
    O que fizemos

    Zeramos simultaneamente \(h\) e \(h\) sub \(T\) e multiplicamos numerador e denominador pela forma conveniente de \(r\).

    Por que é válido

    Como as duas funções são proporcionais à mesma constante de integração, ambas devem desaparecer juntas.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Artigo · p. 6 de 8 ↗
saídaaprovada
\[\frac{dp}{dr}=-(\rho+p)\frac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r}\]

A TOV conservada contém as correções \(h\) e \(h\) sub \(T\) selecionadas pela equação de estado.

Regra ou lema

  • Conservação imposta por construção.
  • Substituição algébrica sem redefinir \(α\).

Hipóteses

  • \(r>2m(r)\).
  • A mesma equação de estado foi usada para construir \(h\) e para integrar a estrela.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

Fazer \(α=0\) elimina simultaneamente \(h\) e \(h_T\) e recupera a TOV da Relatividade Geral.

Fontes deste passo
passo10

A família de soluções precisa ser ordenada pela densidade central.

Separe equilíbrio de estabilidade

entrada 1aprovada
\[\frac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho+\frac14r^2h(\rho)\]

A função massa recebe uma densidade efetiva adicional proporcional a \(h\).

entrada 2aprovada
\[\frac{dp}{dr}=-(\rho+p)\frac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r}\]

A TOV conservada contém as correções \(h\) e \(h\) sub \(T\) selecionadas pela equação de estado.

entrada 3aprovada
\[m(0)=0,\qquad p(0)=p_c,\qquad p(R_\star)=0,\qquad m(R_\star)=M\]

No centro a massa é nula e a pressão é central; a superfície ocorre quando a pressão zera e a massa encerrada é \(M\).

entrada 4aprovada
\[\frac{\partial M}{\partial\rho_c}>0\quad\text{no ramo estável},\qquad \frac{\partial M}{\partial\rho_c}=0\quad\text{no ponto de retorno}\]

O critério de ponto de retorno identifica o início da instabilidade ao longo da família considerada.

operação aplicadaIntegre várias densidades centrais e avalie a derivada de \(M\) ao longo da sequência.
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados
Objetivo deste cálculo

Distinguir uma solução de equilíbrio de um ramo estável e reconstruir o critério de ponto de retorno usado nas curvas publicadas.

Antes de começar

  • Cada sequência mantém fixos \(k\), \(Γ\) e \(α\) enquanto varia apenas a densidade central \(ρ_c\).
  • O site exibe pontos curados das figuras; ele não executa uma nova integração nem interpola entre valores de \(α\).
  1. Linha 1

    Fixe um problema central

    \[m(0)=0,\qquad \rho(0)=\rho_c,\qquad p(0)=k\rho_c^\Gamma\]
    O que fizemos

    Aplicamos a EoS ao centro e impomos regularidade em \(r\) igual a zero.

    Por que é válido

    Esses dados fecham o problema de valor inicial das equações de massa e pressão.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Artigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗
  2. Linha 2

    Defina superfície, raio e massa

    \[p(R_i)=0,\qquad R_i=\min\{r>0:p(r)=0\},\qquad M_i=m(R_i)\]
    O que fizemos

    Seguimos cada solução desde o centro até sua primeira superfície física.

    Por que é válido

    Escolher o primeiro zero evita continuar matematicamente a solução para uma região sem matéria estelar.

    Conferir emArtigo · Eq. (11a)–(15) · p. 4 de 8 ↗Artigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗
  3. Linha 3

    Construa a sequência

    \[\rho_{c,i}\longmapsto\bigl(M_i,R_i\bigr),\qquad i=1,2,\ldots,N\]
    O que fizemos

    Mantemos a teoria e a EoS fixas e mudamos apenas rho central.

    Por que é válido

    Assim a derivada de \(M\) em relação a rho central compara configurações da mesma família.

    Conferir emArtigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗Tese · Eq. Figuras 5.4–5.5 · p. 48–49 ↗
  4. Linha 4

    Meça a inclinação ao longo da família

    \[s_i=\frac{M_{i+1}-M_i}{\rho_{c,i+1}-\rho_{c,i}}\approx\frac{\partial M}{\partial\rho_c}\]
    O que fizemos

    Usamos um quociente de diferenças apenas para ler o sinal da curva publicada.

    Por que é válido

    O site não usa esse quociente para criar pontos intermediários; ele apenas classifica os pontos existentes.

    Conferir emArtigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗Artigo · p. 6 de 8 ↗
  5. Linha 5

    Localize o ponto de retorno

    \[\frac{\partial M}{\partial\rho_c}>0\ \text{no ramo estável},\qquad \frac{\partial M}{\partial\rho_c}=0\ \text{no máximo de }M\]
    O que fizemos

    Lemos o sinal da inclinação antes e depois do maior valor de massa.

    Por que é válido

    Este é um critério de ponto de retorno para a sequência, não uma solução completa do problema de oscilações radiais.

    Conferir emArtigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗Artigo · p. 6 de 8 ↗Tese · Eq. Figuras 5.4–5.5 · p. 48–49 ↗
  6. Linha 6

    Confira o caso publicado

    \[\alpha=-0{,}15:\qquad M_{\max}\simeq2{,}2M_\odot,\qquad R\simeq15{,}5\,\mathrm{km}\]
    O que fizemos

    Selecionamos o ponto máximo identificado nas figuras e na discussão do artigo.

    Por que é válido

    Os valores são uma leitura do resultado publicado, não uma nova previsão calculada pelo site.

    Conferir emArtigo · Eq. Figuras 1–2 · p. 5 de 8 ↗Artigo · p. 6 de 8 ↗Tese · Eq. Figuras 5.4–5.5 · p. 48–49 ↗
saídaaprovada
\[\begin{gathered}\dfrac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho+\dfrac14r^2h(\rho),\\[2pt]\dfrac{dp}{dr}=-(\rho+p)\dfrac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r},\\ m(0)=0,\quad p(0)=p_c,\quad p(R_\star)=0,\quad \partial M/\partial\rho_c>0\ \text{no ramo estável}.\end{gathered}\]

O sistema conservado em \(f(R,T)\) combina massa, equilíbrio, fronteira e o critério de ponto de retorno da sequência estelar.

Regra ou lema

  • Critério de ponto de retorno na família de equilíbrio.

Hipóteses

  • Mesma equação de estado e mesmo \(α\) em cada sequência comparada.
Checkpoint: consigo justificar este passo?

No conjunto publicado, \(α=−0,15\) marca o limite inferior explorado e produz massa máxima próxima de \(2,2\) massas solares.

Fontes deste passo

Resultado da trilha

O sistema conservado em \(f(R,T)\) combina massa, equilíbrio, fronteira e o critério de ponto de retorno da sequência estelar.

\[\begin{gathered}\dfrac{dm}{dr}=4\pi r^2\rho+\dfrac14r^2h(\rho),\\[2pt]\dfrac{dp}{dr}=-(\rho+p)\dfrac{\dfrac{m}{r^2}+\left[4\pi p-\dfrac14h(\rho)-\dfrac12h_T(\rho)(p-\rho)\right]r}{1-2m/r},\\ m(0)=0,\quad p(0)=p_c,\quad p(R_\star)=0,\quad \partial M/\partial\rho_c>0\ \text{no ramo estável}.\end{gathered}\]
Voltar pelas dependências1. Separe equilíbrio de estabilidade2. Monte a TOV conservada3. Recalcule a massa encerrada4. Especialize para \(Γ=5/3\)5. Integre a forma geral de \(h\)6. Deixe a matéria selecionar \(h\) sub \(T\)7. Imponha conservação no interior estático8. Calcule a divergência antes de impô-la9. Varie a ação em relação à métrica10. Fixe a normalização canônica
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