A simetria esférica reduz a geometria a dois potenciais radiais.
Fixe a geometria e a matéria
A curvatura de Einstein é igual a oito pi vezes o tensor energia–momento.
Cálculo linha por linha6 movimentos explicados+
Reduzir as equações de Einstein ao ansatz mínimo compatível com uma estrela estática, esférica e preenchida por fluido perfeito.
Antes de começar
- Adotamos unidades \(G=c=1\) e assinatura métrica \((+---)\).
- A coordenada \(r\) é o raio de área: uma esfera \(r\) constante tem área \(4πr^{2}\).
- Estática e simetria esférica fazem todas as grandezas escalares dependerem somente de \(r\).
Linha 1 Comece pela equação geométrica
\[G_{\mu\nu}=R_{\mu\nu}-\frac12R g_{\mu\nu}=8\pi T_{\mu\nu}\]O que fizemos Escrevemos a equação de campo na convenção que será usada em toda a trilha.
Por que é válido Com \(G=c=1\), o acoplamento de Einstein é \(8π\); essa é a Eq. (2.1) da tese.
Linha 2 Use coordenadas adaptadas à simetria
\[x^\mu=(t,r,\theta,\varphi),\qquad ds^2=A(r)dt^2-B(r)dr^2-r^2\!\left(d\theta^2+\sin^2\theta\,d\varphi^2\right)\]O que fizemos Eliminamos termos cruzados e dependências em t, \(θ\) e \(φ\), e fixamos \(r\) como raio de área.
Por que é válido Estática, invariância por rotações e a escolha de coordenada radial permitem essa forma diagonal sem perder a classe de estrelas considerada.
Linha 3 Parametrize funções positivas por exponenciais
\[A(r)=e^{\phi(r)},\qquad B(r)=e^{\psi(r)}\]O que fizemos Trocamos A e \(B\) pelos potenciais métricos \(φ\) e \(ψ\).
Por que é válido No interior estático, A e \(B\) são positivos; a parametrização exponencial evita carregar restrições de sinal nas manipulações.
Linha 4 Normalize a velocidade do fluido em repouso
\[u^\mu=\left(e^{-\phi/2},0,0,0\right),\qquad g_{\mu\nu}u^\mu u^\nu=e^\phi e^{-\phi}=1\]O que fizemos Impusemos repouso nas coordenadas escolhidas e resolvemos a normalização de \(u\).
Por que é válido Para assinatura mais menos menos menos, uma quadrivelocidade física é temporal e satisfaz \(u\) ao quadrado igual a um.
Linha 5 Construa o fluido perfeito
\[T_{\mu\nu}=(\rho+p)u_\mu u_\nu-pg_{\mu\nu}\qquad\Longrightarrow\qquad T^\mu{}_{\nu}=\operatorname{diag}(\rho,-p,-p,-p)\]O que fizemos Substituímos a velocidade comóvel na forma covariante do tensor de fluido perfeito.
Por que é válido Isotropia exige a mesma pressão nas três direções espaciais; a assinatura explica os sinais das componentes mistas.
Linha 6 Reúna o ansatz estelar
\[ds^2=e^{\phi(r)}dt^2-e^{\psi(r)}dr^2-r^2d\Omega^2,\qquad T^\mu{}_{\nu}=\operatorname{diag}(\rho(r),-p(r),-p(r),-p(r))\]O que fizemos Juntamos a geometria reduzida e a fonte material na mesma convenção.
Por que é válido Esse é precisamente o conteúdo que deve ser inserido nas componentes \(00\) e \(11\) das equações de Einstein.
A estrela é estática, esfericamente simétrica e preenchida por um fluido perfeito com densidade rho e pressão \(p\).
Regra ou lema
- Simetria esférica elimina dependências angulares e temporais dos potenciais.
- No referencial comóvel, \(T^μ_ν\) tem uma entrada de densidade e três de pressão isotrópica.
Hipóteses
- Unidades \(G=c=1\).
- Assinatura \((+---)\).
- Fluido perfeito, estático e isotrópico.
Checkpoint: consigo justificar este passo?
As funções desconhecidas são \(φ(r)\), \(ψ(r)\), \(ρ(r)\) e \(p(r)\); uma equação de estado ainda será necessária para fechar o problema.